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Biologische Bedeutung von Null als Laplace-Koeffizient in mathematischen Modellen der Zellmotilität

Biologische Bedeutung von Null als Laplace-Koeffizient in mathematischen Modellen der Zellmotilität


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Mehrere mathematische Modelle aus der theoretischen Biologie befassen sich mit verschiedenen Formen der Zellmotilität (zum Beispiel Krebswachstum) oder der Evolution von Populationen.

Die Gleichungen, aus denen solche Modelle bestehen, enthalten normalerweise (unter anderem) einen Fickschen Diffusionsterm der Form $$-deltaDelta u(t,x),$$ wobei $u$ die Zell- (oder Populations-)Dichte ist.


Um einige Ideen zu korrigieren, betrachten Sie die folgenden Beispiele.

  1. EIN Chemotaxis-Modell:

$$partial_t u(t,x) = delta Delta u(t,x) - abla cdot(uKstar u),$$ wobei $K star u = int_Omega K(x, y)u(t,y)dy$, für einen bestimmten Kernel $K$.

  1. Ein Modell, das in . entsteht Populationsdynamik:

$$partial_t u(t,x) = deltaDelta u(t,x) + u(t,x) left(lambda - aint_Omega u(t,y) dy ight). $$


  • Was bedeutet biologisch gesehen eine Situation, in der $delta = 0$ ist (d. h. wenn keine Ficksche Diffusion durch den Laplace-Term bestimmt wird)?

  • Besteht Interesse, solche Situationen zu studieren?

  • Können Sie einige Referenzen zu diesem Thema nennen?


Damit wir auf der gleichen Seite sind…

  • $u(x,t)$ ist eine Konzentrations-/Dichtefunktion, die die Anzahl der Partikelarten (Bakterien, Gasmoleküle usw.) an einem Punkt im Raum beschreibt $x$ und Zeit $t$. Und obwohl es eine offensichtliche Aussage sein mag… mit $u$ die Parameter haben $(x,t)$, zeigt dies an, dass die Partikelkonzentrationswerte sowohl von der Position als auch von der Zeit abhängig sind.

  • $delta$ ist der Diffusionskoeffizient der Partikelkonzentration, definiert als Proportionalitätskonstante zwischen der Partikeldiffusion und dem gesamten Partikelkonzentrationsgradienten. Die Partikeldiffusion kann als lokales Verhalten betrachtet werden, während der Gesamtpartikelkonzentrationsgradient das Verteilungsverhalten für die gesamte Partikelkonzentration beschreibt und von anderen Kräften als der Reaktion des Partikels auf einen Lockstoff-/Abstoßungsgradienten beeinflusst werden kann, einschließlich Temperatur, Druck und/oder andere Umgebungsvariablen. Ein tieferes Verständnis dieses Koeffizienten kann durch die Lektüre der Abschnitte 2.1 und 2.2 erlangt werden.


Deine Fragen

  • Was bedeutet biologisch gesehen eine Situation, in der $delta = 0$?

Nun, wenn Sie die empfohlenen Abschnitte tatsächlich gelesen haben, haben Sie vielleicht schon erkannt, dass dies einfach nicht möglich ist $delta = 0$, es sei denn, Sie betrachten Massenkonzentrationen, die einfach nicht ineinander diffundieren können, aber selbst dann $delta$ würde als angesehen werden $DNE$.

So verweisen Sie auf einen Teil von 2.1 & 2.2:

Molekulare Diffusion kann streng genommen nicht unter Bedingungen auftreten, unter denen sowohl der Nettofluss und der [Konzentrationsgradient] sind gleichzeitig Null. Wenn der [Konzentrationsgradient] einheitlich ist, sind die Flüsse im Allgemeinen für verschiedene Spezies unterschiedlich und der Nettofluss ist nicht null. Wenn der Nettofluss null ist, muss ein kleiner [Konzentrations-]Gradient vorhanden sein, um der Tendenz entgegenzuwirken, dass die verschiedenen Artenflüsse unterschiedlich sind.

Der Diffusionskoeffizient kann ein extrem kleiner Wert sein - der auf der Natur der Partikel, die sich verbreiten, und dem Medium, für das sie sich durchdringen, basiert - aber er ist nie Null. Hier finden Sie eine Reihe von Tabellen, die Diffusionskoeffizienten für gängige Stoffe unter Standardbedingungen enthalten.

Und was die biologische Bedeutung angeht $delta = DNE$… die einzige Schlussfolgerung, die daraus gezogen werden kann, ist, dass die betrachteten Massenkonzentrationen, aus welchen Gründen auch immer, nicht miteinander diffundieren können. Ob es darüber hinaus eine Bedeutung gibt oder nicht, ich glaube, das hängt davon ab, was speziell untersucht wird.


  • … das heißt, wo keine Ficksche Diffusion nach dem Laplace-Begriff stattfindet?

Diese Aussage jedoch tut haben eine biologische Bedeutung. Wann $deltaDelta u(t,x) = 0$, dies bedeutet, dass am Punkt im Raum ein Nettofluss von Null auftritt $x$ zum Zeitpunkt $t$. Das heißt - die Anzahl der Partikel einer bestimmten Spezies eintreten eine gegebene Raumregion über ein gegebenes Zeitintervall ist genau das gleiche wie die Anzahl der Partikel derselben Spezies Verlassen genau die gleiche Raumregion über das exakt gleiche Zeitintervall. Wenn dies für alle Raumregionen innerhalb des [biologischen] Systems zutrifft, bedeutet dies, dass sich das System in einem stationären Zustand befindet und/oder ein Gleichgewicht erreicht hat.

Hinweis: Gleichgewichts- und stationäre Systeme sind nicht dasselbe, jedoch sind die damit verbundenen Unterschiede für den Umfang dieser Diskussion nicht relevant, und daher wird darüber nicht weiter gesprochen.

Wenn sich ein biologisches System in einem stationären Zustand und/oder im Gleichgewicht befindet, kann dies erhebliche Auswirkungen haben. Das vielleicht allgegenwärtigste Beispiel, das auch zuerst in den Sinn kommt, sind die stationären Zustände von Ionenkanälen, wobei die Auswirkungen der Zellaktivierung/Nichtaktivierung die Auswirkungen sind. Ein anderes Beispiel könnte so ziemlich jede chemische Reaktion sein, die ein Gleichgewicht erreicht.


  • Besteht Interesse, solche Situationen zu studieren? Können Sie einige Referenzen zu diesem Thema nennen?

Ja, es gibt viele Vorkommnisse, bei denen diese Zustände untersucht werden, von denen Sie vielleicht bereits wissen. Unabhängig davon sind hier einige, die mir würdig genug erscheinen, um sie in dieser Antwort bereitzustellen:

  • Stationäre Verteilung von Bakterien chemotaktisch in Richtung Sauerstoff

  • Gleichgewicht zweier Populationen, die einer Chemotaxis ausgesetzt sind

  • Das Hodgkin-Huxley-Modell


Zusammenfassend

Die biologische Bedeutung von $deltaDelta u(t,x) = 0$ befasst sich normalerweise mit Szenarien, in denen die Region(en) im Weltraum einen Massenfluss erfährt, der für eine bestimmte Partikelart gleiche ein- und ausgehende Raten aufweist. In den meisten Fällen weist dies auf einen stationären Zustand und/oder ein Gleichgewicht hin, und dies kann auf lokale Regionen oder global im gesamten System beschränkt sein.

Und ich möchte auch eine etwas andere Perspektive bieten. Normalerweise ist der Diffusionskoeffizient eine temperatur- und druckabhängige Funktion. Wenn Sie jedoch Situationen mit STP/NTP in Betracht ziehen, kann der Diffusionskoeffizient wirklich als Konstante behandelt werden. Wenn dies der Fall ist, ist der Laplace-Term analog zur Wärmegleichung. Aus dieser Perspektive sagt der Laplace-Term [Null] aus, dass es keinen Wärmeverlust oder -gewinn (speziesspezifische Partikelbewegung) gibt, wenn eine Raumregion über ein definiertes Zeitintervall betrachtet wird, und das Gesamtmodell würde die Änderung beschreiben (s) in Bewegung (Wärme) für das gesamte System. Von dort aus könnte die Biologie erklären, wie warum die "Hitze" verhält sich so, wie sie es tut, was die Mechanismen und Verhaltensweisen eines Organismus in Bezug auf seine Reaktion(en) auf einen Lockstoff/Repellent betreffen würde.

Und zuletzt, Aus Gründen der Inklusivität stellen die anderen Begriffe in diesen Modellen im Allgemeinen Verhaltensweisen dar, die außerhalb der lokalen Interaktionen liegen und jede unterschiedliche Auswirkungen haben kann, wie z der Konzentrationsgradient bewegt sich weiter, wie dies beim zweiten Term im Chemotaxis-Modell der Fall ist. Wenn also der Laplace-Term zu keiner Änderung beiträgt, d. h. wenn es einen Nettofluss von Null gibt, werden diese anderen Terme die einzigen Kandidaten für mögliche Änderungen im System sein, was auch immer diese Änderungen sein mögen.


Verweise