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Verwirrung um das Lotka_Volterra-Modell für zwei konkurrierende Arten

Verwirrung um das Lotka_Volterra-Modell für zwei konkurrierende Arten


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Das Lotka-Volterra-Modell für zwei konkurrierende Arten in Boyces elementaren Differentialgleichungen und Grenzwertproblemen ist gegeben durch: egin{align*} frac{dx_{1}(t)}{dt}&=r_{1}x_{1}-a_{11}x_{1}x_{1}-a_{12}x_{ 1}x_{2} &=r_{1}x_{1}(1-frac{a_{11}}{r_{1}}x_{1})-a_{12}x_{1}x_ {2} &=r_{1}x_{1}(1-frac{x_{1}}{K_{1}})-a_{12}x_{1}x_{2},quad x_ {1}(0)>0 frac{dx_{2}(t)}{dt}&=r_{2}x_{2}-a_{22}x_{2}x_{2}-a_{ 21}x_{1}x_{2} &=r_{2}x_{2}(1-frac{a_{22}}{r_{2}}x_{2})-a_{21}x_ {1}x_{2} &=r_{2}x_{2}(1-frac{x_{2}}{K_{2}})-a_{21}x_{1}x_{2} ,quad x_{2}(0)>0 K_{1}= frac{r_{1}}{a_{11}} K_{2}= frac{r_{2}}{a_ {22}} end{ausrichten*} $ r_{i}, i=1, 2 $: ist die intrinsische Wachstumsrate für Beutetiere.

$ a_{ii} $ :sind Intra-Arten-Interferenzkoeffizient der beiden Beutearten.

$ K_{i}, i=1, 2 $ : die Umwelttragfähigkeit für i-te Beutearten.

$ a_{ij} $: Inter-Arten-Interferenzkoeffizient der beiden Beutearten.

Während in dem Buch von Murray "Mathematical Biology: I. An Introduction" von: egin{align*} frac{dx_{1}(t)}{dt}&=r_{1}x_{1}left(1-frac{x_{1}}{K_{1}}- frac{a_{12}}{K_{1}}x_{2} ight),quad x_{1}(0)>0 frac{dx_{2}(t)}{dt}& =r_{2}x_{2}left(1-frac{x_{2}}{K_{2}}-frac{a_{21}}{K_{2}}x_{1} ight) ,quad x_{2}(0)>0 end{ausrichten*} Ich versuche, ihnen zu entsprechen, die ich bekomme egin{align*} frac{dx_{1}(t)}{dt}&=r_{1}x_{1}left(1-frac{x_{1}}{K_{1}}- frac{a_{12}}{K_{1}}x_{2} ight) &=r_{1}x_{1}- frac{r_{1}}{K_{1}}x_{ 1}x_{1}- frac{r_{1}}{K_{1}}a_{12}x_{1}x_{2} &=r_{1}x_{1}- a_{11} x_{1}x_{1}- a_{11}a_{12}x_{1}x_{2},quad x_{1}(0)>0 frac{dx_{2}(t)} {dt}&=r_{2}x_{2}left(1-frac{x_{2}}{K_{2}}-frac{a_{21}}{K_{2}}x_{1 } ight) &=r_{2}x_{2}- frac{r_{2}}{K_{2}}x_{2}x_{2}- frac{r_{2}}{K_ {2}}a_{21}x_{2}x_{1} &=r_{2}x_{2}- a_{22}x_{2}x_{2}- a_{22}a_{21} x_{2}x_{1},quad x_{2}(0)>0 K_{1}= frac{r_{1}}{a_{11}} K_{2}= frac {r_{2}}{a_{22}} end{align*} Hier haben wir also einen zusätzlichen Faktor in den Interspezies-Bedingungen. Wie sind sie gleichwertig?


Dies ist wahrscheinlich keine sehr zufriedenstellende Antwort. Der nächste Schritt in Murrays Buch (3. Aufl.) gibt es eine nicht-dimensionalisierte Version des Modells (Gl. 3.32), die wie die in Boyces Buch (10. Aufl.) $epsilon_i$ und $sigma_i$ (Gl. 2, Ch 9). Wenn du einsteckst $epsilon_i = sigma_i = 1$ in Boyces Buch erhalten Sie denselben Fixpunktausdruck (Gl. 36) wie in Murrays Buch.

Die Idee ist: im RHS von a $frac{dx_i}{dt}$ Begriff die $x_i x_i$ steht für intraspezifische Interaktion und die $x_i x_j$ steht für interspezifische Interaktionen zwischen Arten $i$ und $j$. Sie können Konstanten beliebig platzieren, um diese Begriffe mit einer Interpretation zu skalieren. Aber das qualitative Verhalten des Systems ändert sich nicht und die Koeffizienten bleiben in der Algebra erhalten, je nachdem, wie Sie sie gesetzt haben.

Aber um den zusätzlichen Faktor im zweiten Satz von Gleichungen wörtlich zu interpretieren: Sie können sie sich so vorstellen, als ob $a_{ii}$ ist die Skalierung der intraspezifischen Interferenz, dann $a_{ij}$ ist eine Skalierung von $a_{ii}$ für Inter-Spezies-Interaktion, d. h. die Spezies $j$ Arten stören $i$ mit $a_{ij} a_{ii}$.


Schau das Video: Lotka-Volterra, Räuber-Beute-Modell, Differentialgleichungssystem (Kann 2022).